Równania różniczkowe Eulera

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym Eulera rzędu \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) nazywamy równanie postaci

\( a_nt^ny^{(n)}(t)+a_{n-1}t^{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}ty^\prime(t)+a_{0}y(t)=f(t) \)

gdzie: \( \hskip 0.3pc a_0,\ldots ,a_n\hskip 0.3pc \) są to stałe, \( \hskip 0.3pc a_n\neq 0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą określoną w przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}. \)

Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy najpierw wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania jednorodnego

(2)

\( a_{n}t^ny^{(n)}(t)+a_{n-1}t^{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}ty^\prime(t)+a_{0}y(t)=0. \)

Omówimy wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań dla \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc \) czyli dla równania:

(3)

\( a_2t^2y^{\prime\prime}(t)+a_1ty^\prime (t)+a_0y(t)=0. \)

Rozwiązania równania ( 3 ) szukamy w postaci funkcji \( \hskip 0.3pc y(t)=t^k\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) jest stałą.
Wtedy \( \hskip 0.3pc y(t)=t^k\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc y^\prime(t)=kt^{k-1}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)=k(k-1)t^{k-2}\hskip 0.3pc \) podstawiamy do równania ( 3 ) i dostajemy

\( a_2k(k-1)t^k +a_1kt^k+a_0 t^k=0. \)

Dzieląc powyższe równanie przez \( \hskip 0.3pc t^k\hskip 0.3pc \) otrzymamy równanie

(4)

\( a_2k^2+(a_1-a_2)k+a_0=0. \)

Rozważymy trzy przypadki w zależności od \( \hskip 0.3pc \Delta =(a_1-a_2)^2-4a_2a_0 \hskip 0.3pc \) .
Przypadek I. \( \hskip 0.3pc \Delta >0.\hskip 0.3pc \) Równanie ( 4 ) ma wtedy dwa różne rzeczywiste pierwiastki

\( k_1=\frac{a_2-a_1-\sqrt{(a_1-a_2)^2-4a_2a_0}}{2a_2}, \hskip 1.1pc k_2=\frac{a_2-a_1+\sqrt{(a_1-a_2)^2-4a_2a_0}}{2a_2}. \)

Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 3 )

\( y_1(t)=t^{k_1} \hskip 0.8pc {\rm i}\hskip 0.8pc y_2(t)=t^{k_2}. \)

Funkcje te są liniowo niezależne ponieważ ich wrońskian

\( \begin{vmatrix} t^{k_1} & t^{k_2}\\k_1t^{k_1-1} & k_2t^{k_2-1} \end{vmatrix}=t^{k_1+k_2-1}(k_2-k_1)\neq 0,\hskip 0.8pc {\rm dla}\hskip 0.8pc t\neq 0, \)

jest różny od zera.
Zatem rozwiązanie ogólne równania( 3 ) w tym przypadku ma postać

\( y(t)=c_1t^{k_1}+c_2t^{k_2}. \)

Przypadek II. \( \hskip 0.3pc \Delta =0.\hskip 0.3pc \) Równanie ( 4 ) ma wtedy jeden pierwiastek rzeczywisty \( \hskip 0.3pc k =\frac{a_2-a_1}{2a_2}.\hskip 0.3pc \) Funkcja \( \hskip 0.3pc y_1(t)=t^{k}\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 3 ).
Dzieląc obustronnie równanie ( 3 ) przez \( \hskip 0.3pc a_2t^2\hskip 0.3pc \) otrzymujemy

\( y^{\prime\prime}(t)+\frac{a_1}{a_2t}y^\prime(t)+\frac{a_0}{a_2t^2}y(t)=0. \)

Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy na podstawie twierdzenia Liouville'a

\( y_2(t)=t^{k}\int \dfrac{e^{-\int \frac{a_1}{a_2t} dt}}{t^{2k}}dt=t^{k}\int \dfrac{e^{- \frac{a_1}{a_2}\ln t }}{t^{2k}}dt=t^{k}\int t^{- \frac{a_1}{a_2}}t^{-2k}dt=t^{k}\int\dfrac{dt}{t}=t^k\ln t. \)

Rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać

\( y(t)=c_1t^k+c_2t^k\ln t. \)

Przypadek III. \( \Delta <0. \) Równanie ( 1 ) ma wtedy dwa różne pierwiastki zespolone wzajemnie sprzężone

\( k_1=\dfrac{a_2-a_1-i\sqrt{4a_2a_0-(a_1-a_2)^2}}{2a_2}, \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc k_2=\dfrac{a_2-a_1+i\sqrt{4a_2a_0-(a_1-a_2)^2}}{2a_2}. \)

Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 3 )

\( y_1(t)=t^{k_1} \hskip 1pc {\rm i} \hskip 1pc y_2(t)=t^{k_2}. \)

Funkcje te są liniowo niezależne. Uzasadnienie jest identyczne jak w przypadku pierwszym.
Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać

\( y(t)=c_1t^{k_1}+c_2t^{k_2}. \)

Niedogodnością tego przedstawienia jest to, że funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) są funkcjami o wartościach zespolonych.
Wyznaczymy teraz funkcje liniowo niezależne o wartościach rzeczywistych, spełniające równanie ( 3 ).
W celu uproszczenia zapisów wprowadzamy następujące oznaczenia

\( \alpha =\dfrac{a_2-a_1}{2a_2}, \hskip 1pc \beta =\dfrac{\sqrt{4a_2a_0-(a_1-a_2)^2}}{2a_2} \)

Wtedy pierwiastki \( \hskip 0.3pc k_1, \hskip 0.3pc k_2\hskip 0.3pc \) równania ( 4 ) możemy zapisać następująco

\( k_1=\alpha -\beta i, \hskip 0.8pc k_2=\alpha +\beta i. \)

W dalszym rozumowaniu będziemy korzystać z następującej zależności Eulera

\( e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta,\hskip 1pc \theta\in\mathbb{R} \)

i faktu, że \( \hskip 0.3pc t=e^{\ln t}.\hskip 0.3pc \) Stąd otrzymujemy

\( y_1(t)=t^{k_1 }=t^{(\alpha -i\beta) }=t^{\alpha }t^{ -i\beta }=t^{\alpha }e^{-i\beta \ln t}=t^{\alpha}[\cos (\beta \ln t)-i\sin(\beta \ln t)] \)

\( y_2(t)=t^{k_2 }=t^{(\alpha +i\beta) }=t^{\alpha }t^{ i\beta }=t^{\alpha }e^{i\beta \ln t}=t^{\alpha}[\cos (\beta \ln t)+i\sin(\beta \ln t)] \)

Na podstawie twierdzenia 1 dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania ( 3 ) jest rozwiązaniem tego równania, stąd następujące funkcje są rozwiązaniami równania ( 3 ).

\( Y_1(t)=\frac{1}{2}y_1(t)+\frac{1}{2}y_2(t)=t^{\alpha }\cos (\beta\ln t), \)

\( Y_2(t)=\frac{i}{2}y_1(t)-\frac{i}{2}y_2(t)=t^{\alpha }\sin (\beta \ln t). \)

Ponieważ funkcje te są liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać

\( y(t)=t^{\alpha }[c_1\cos (\beta \ln t)+c_2\sin (\beta \ln t)]. \)

W przypadku gdy \( \hskip 0.3pc n>2,\hskip 0.3pc \) postępuje się analogicznie jak dla równań o stałych współczynnikach. Szuka się rozwiązania równania w postaci funkcji \( \hskip 0.3pc y(t)=t^k\hskip 0.3pc \). Licząc kolejno pochodne \( \hskip 0.3pc y^\prime(t),\ldots, y^{n}(t)\hskip 0.3pc \) i podstawiając do równania ( 2 ) otrzymuje się wielomian stopnia \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) zmiennej \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc \) który będziemy oznaczać \( \hskip 0.3pc \psi _n(k)\hskip 0.3pc \).
Analogicznie jak w przypadku \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc \) rozpatrzymy trzy przypadki, w zależności od pierwiastków równania

(5)

\( \psi _n(k)=0. \)

Przypadek I. Pierwiastki \( \hskip 0.3pc k_1, \ldots ,k_s\hskip 0.3pc \) równania ( 5 ) są rzeczywiste i jednokrotne.
Wtedy funkcje

\( y_1(t)=t^{k_1},\ldots ,\hskip 0.3pc y_s(t)=t^{k_s} \)

stanowią liniowo niezależny zbiór rozwiązań równania ( 2 ).
Przypadek II. Niech \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) będzie pierwiatkiem rzeczywistym równania ( 5 ) o krotności \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc r>1.\hskip 0.3pc \) Wtedy funkcje

\( y_1(t)=t^k, \hskip 0.3pc y_2(t)=t^k\ln t,\ldots ,\hskip 0.3pcy_k(t)=t^k(\ln t)^{r-1} \)

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 2 )
Przypadek III. Niech \( \hskip 0.3pc k =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc \) będzie pierwiastkiem równania ( 5 ) o krotności \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc r\ge1\hskip 0.3pc \). Wtedy liczba sprzężona \( \hskip 0.3pc \bar{k }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc \) też jest pierwiatkiem tego równania o krotności \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \). Pierwiastkom tym odpowiadają nastepujące funkcje

\( \begin{aligned}& t^{\alpha}\sin (\beta \ln t),\hskip 0.3pct^{\alpha}\ln t\sin (\beta \ln t),\ldots ,\hskip 0.3pc t^{\alpha}(\ln t)^{r-1}\sin (\beta \ln t),\\& t^{\alpha}\cos (\beta \ln t),\hskip 0.3pc t^{\alpha}\ln t\cos (\beta \ln t),\ldots ,\hskip 0.3pc t^{\alpha}(\ln t)^{r-1}\cos (\beta \ln t)\end{aligned} \)

będące liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 2 ).

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

(6)

\( t^2y^{\prime\prime}-6y=5\ln t . \)

Równanie charakterystyczne ( 1 ) odpowiadające równaniu ( 1 ) jest następujące

\( k^2-k-6=0, \)

jego pierwiastkami są \( \hskip 0.3pc k_1=-2, \hskip 0.3pc k_2=3.\hskip 0.3pc \)

Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego odpowiadającego równaniu ( 6 ) jest funkcja

\( y_0(t)=c_1t^{-2}+c_2t^3. \)

Szukamy rozwiązanie równania ( 6 ) metodą uzmienniania stałych

\( y(t)=c_1(t)t^{-2}+c_2(t)t^3. \)

Funkcje \( \hskip 0.3pc c_1^\prime(t),\hskip 0.3pc c_2^\prime(t)\hskip 0.3pc \) wyznaczamy z układu równań

\( \begin{cases}\frac{1}{t^2}c_1^\prime(t)+t^3c_2^\prime(t)=0 & \\ \frac{-2}{t^3}c_1^\prime(t)+ 3t^2c_2^\prime(t)=5\frac{\ln t}{t^2}\end{cases} \)

i są one odpowiednio równe

\( c_1^\prime(t)=\frac{w_1(t)}{w(t)} \hskip 1pc {\rm i}\hskip 1pc c_2^\prime(t)=\frac{w_2(t)}{w(t)} \)

gdzie

\( \begin{aligned}&w(t)=\begin{vmatrix} \frac{1}{t^2} & t^3 \\ \frac{-2}{t^3}& 3t^2 \end{vmatrix}=\frac{1}{t^2}3t^2-\frac{-2}{t^3}t^3=3+2=5,\\&w_1(t)=\begin{vmatrix} 0 & t^3 \\5\frac{\ln t}{t^2} & 3t^2 \end{vmatrix}=-5t\ln t, \\&w_2(t)=\begin{vmatrix} \frac{1}{t^2} & 0 \\\frac{-2}{t^3}& 5\frac{\ln t}{t^2} \end{vmatrix}=5\frac{\ln t}{t^4}.\end{aligned} \)

Stąd \( \hskip 0.3pc c_1^\prime(t)=- t\ln t\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc c_2^\prime(t)=\frac{\ln t}{t^4}\hskip 0.3pc \) i po scałkowaniu otrzymujemy

\( \begin{aligned} c_1(t)=& -\int t\ln t dt=\left\lbrace \begin{matrix}& u=\ln t & du=\frac{1}{t}dt\\ & dv=tdt & v=\frac{t^2}{2} \end{matrix}\right\rbrace =\frac{t^2}{2}\ln t -\frac{1}{2}\int t dt=\\&\frac{t^2}{2}\ln t -\frac{t^2}{4}+c_1 \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} c_2(t)=&\int \frac{\ln t}{t^4} dt=\left\lbrace \begin{matrix}& u=\ln t & du=\frac{1}{t}dt\\& dv=\frac{1}{t^4}dt & v=-\frac{1}{3t^3} \end{matrix}\right\rbrace =-\frac{\ln t}{3t^3} +\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^4}=\\&-\frac{1}{t^3}\left(\frac{\ln t}{3}+\frac{1}{9}\right)+c_2.\end{aligned} \)

Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 6 ) ma postać

\( y(t)=\left( \frac{t^2}{2}\ln t -\frac{t^2}{4}+c_1\right)t^{-2}+\left(-\frac{1}{t^3}\left(\frac{\ln t}{3}+\frac{1}{9}\right)+c_2\right)t^3. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Równania różniczkowe Eulera

Definicja 1:

Przykład 1: